Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓過右焦點的弦為、過原點的弦為，若，求證：為定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】

試題分析：

(Ⅰ)由題意結合點到直線距離公式可得.結合離心率計算公式有.則橢圓的方程為.

(Ⅱ)對直線的斜率分類討論：當直線的斜率不存在時，.當直線的斜率存在時，設，，，，聯立直線方程與橢圓方程有，由弦長公式可得.聯立直線與橢圓方程，結合弦長公式有.計算可得.據此可得：為定值.

試題解析：

（Ⅰ）依題意，原點到直線的距離為，

則有.

由，得.

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：（1）當直線的斜率不存在時，易求，，

則.

（2）當直線的斜率存在時，

設直線的斜率為，依題意，

則直線的方程為，直線的方程為.

設，，，，

由得，

則，，

.

由整理得，則.

.

∴.

綜合（1）（2），為定值.