Question

【題目】已知圓M：及定點，點A是圓M上的動點，點B在上，點G在上，且滿足，，點G的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）設斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點，與直線和分別交于P、Q兩點.當時，求（O為坐標原點）面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據題意得到GB是線段的中垂線，從而為定值，根據橢圓定義可知點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，即可求出曲線C的方程；（2）聯立直線方程和橢圓方程，表示處的面積代入韋達定理化簡即可求范圍.

（1）為的中點，且是線段的中垂線，

，又，

∴點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，

設橢圓方程為（），

則，，，

所以曲線C的方程為.

（2）設直線l：（），

由消去y，可得.

因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，

所以，.①

又由可得；同理可得.

由原點O到直線的距離為和，

可得.②

將①代入②得，

當時，，

綜上，面積的取值范圍是.