Question

【題目】如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點．

（1）求證平面；

（2）求二面角的大小；

（3）試在線段上一點，使得與所成的角是60°．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60°；（3）點為線段的中點.

【解析】

（1）根據正方形和矩形所在的平面互相垂直，建立空間直角坐標系，求得的坐標，證明共線即可.

（2）根據平面，得到為平面的一個法向量，由，，得到為平面的一個法向量，然后代入公式求解.

（3）設，求得，的坐標，代入公式求解.

（1）建立如圖所示的空間直角坐標系：

設，連接，

則點、的坐標分別是、，

∴，

又點、的坐標分別是、，

∴，

∴，且與不共線，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵，，，

∴平面，

∴為平面的一個法向量，

∵，

∴，

得，，

∴為平面的一個法向量，

∴，

∴，的夾角是60°，

即所求二面角的大小是60°.

（3）設，，，

則，

解得或（舍去），

所以當點為線段的中點時，直線與所成的角為60°．