Question

已知函數
(1)求函數在點處的切線方程；
(2)求函數單調增區間；
(3)若存在，使得是自然對數的底數），求實數的取值范圍.

Answer 1

(1)  (2) 單調增區間為 (3)

試題分析：⑴因為函數，
所以，，
又因為，所以函數在點處的切線方程為．
⑵由⑴，．
因為當時，總有在上是增函數，
又，所以不等式的解集為，
故函數的單調增區間為．
⑶因為存在，使得成立，
而當時，，
所以只要即可．
又因為，，的變化情況如下表所示：

	減函數	極小值	增函數

 
所以在上是減函數，在上是增函數，所以當時，的最小值，的最大值為和中的最大值．
因為，
令，因為，
所以在上是增函數．
而，故當時，，即；
當時，，即．
所以，當時，，即，函數在上是增函數，解得；當時，，即，函數在上是減函數，解得．
綜上可知，所求的取值范圍為．
點評：第一問主要利用導數的幾何意義：函數在某一點處的導數值等于該點處的切線斜率；第二問求單調增區間主要是通過導數大于零；第三問的不等式恒成立轉化為求函數最值，這是函數題經常用到的轉化方法，本題第三問有一定的難度