Question

【題目】設數列的前項和為，若，則稱是“數列”.

（1）若是“數列”，且，，，，求的取值范圍；

（2）若是等差數列，首項為，公差為，且，判斷是否為“數列”；

（3）設數列是等比數列，公比為，若數列與都是“數列”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析； （3）.

【解析】

（1）根據數列的新定義，列出不等式組且，，即可求解；

（2）由等差數列，得到，進而得出，再由的單調性，得到，即可得到結論；

（3）設等比數列的公比為，分和時，結合數列的新定義，即可作差判定.

（1）由題意，數列滿足，稱是“數列”，

又由，，，，可得且，

解得，即的取值范圍是.

（2）由題意，數列的通項公式為，

則，

又由，可得數列隨著的增大而減小，

所以當時，取得最大值，所以，

所以數列是“數列”.

（3）由題意得，等比數列的公比為，

由數列是“G的數列”，可得，即，

①當時，所以，則，符合題意，

②當時，則，則，

因為數列是“G的數列”，所以對恒成立，

（i）當時，，

即對恒成立，

因為，

所以，

所以當時，對恒成立；

（ii）當時，，

即對恒成立，

因為，

所以，解得，

又，所以不存在滿足題意，

綜上可得，數列的公比的取值范圍是.