Question

【題目】已知實數λ＞0，設函數f（x）=eλx﹣ ．
（Ⅰ）當λ=1時，求函數g（x）=f（x）+lnx﹣x的極值；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）λ=1時，g（x）=ex﹣x，g′（x）=ex﹣1，

令g′（x）＜0，解得：x＜0，令g′（x）＞0，解得：x＞0，

故g（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，

故g（x）無極大值，極小值是g（0）=1；

（Ⅱ）當0＜x≤1時，易知不等式eλx﹣ ≥0恒成立，

x＞1時，由題設得不等式λeλx≥lnx，即λxeλx≥lnxelnx（*）恒成立，

設φ（t）=tet（t＞0），

則由φ′（t）=et（1+t）＞0，

知φ（t）在（0，+∞）遞增，

于是，x＞1時，由（*）知φ（λx）≥φ（lnx），

即λ≥ 在（1，+∞）恒成立，

故所求λ的最小值即為函數p（x）= （x＞1）的最大值，

∵p′（x）= ，故1＜x＜e時，p′（x）＞0，p（x）遞增，

x＞e時，p′（x）＜0，函數p（x）遞減，

綜上，λmin=p（x）max=p（e）=

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（2）進行參變分離將問題轉化為λ≥ 在（1，+∞）恒成立，所求λ的最小值即為函數P（x）的最大值，根據函數的單調性求出λ的最小值即可.
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．