Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣ ﹣2alnx（a∈R） （Ⅰ）若函數f（x）在x=2時取極值，求實數a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， 依題意有：f'（2）=0，即 ，
解得：
檢驗：當 時，

此時：函數f（x）在（1，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
滿足在x=2時取得極值
綜上： ．
（Ⅱ）依題意有：fmin（x，）≥0
，
令f′（x）=0，
得：x1=2a﹣1，x2=1，
①當2a﹣1≤1即a≤1時，
函數f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
則f（x）在[1，+∞）單調遞增，
于是fmin（x）=f（1）=2﹣2a≥0，
解得：a≤1；
②當2a﹣1＞1即a＞1時，
函數f（x）在[1，2a﹣1]單調遞減，在[2a﹣1，+∞）單調遞增，
于是fmin（x）=f（2a﹣1）＜f（1）=2﹣2a＜0，不合題意，
此時：a∈Φ；
綜上所述：實數a的取值范圍是a≤1
【解析】（Ⅰ）由 ，依題意有：f'（2）=0，即 ，通過檢驗滿足在x=2時取得極值．（Ⅱ）依題意有：fmin（x，）≥0從而 ，令f′（x）=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，通過討論①當2a﹣1≤1即a≤1時②當2a﹣1＞1即a＞1時，進而求出a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．