Question

討論下述函數的奇偶性：
（1）f（x）=，
（2）f（x）=，
（3）f（x）=，
（4）f（x）=（常數a≠0）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先化簡函數，然后求出函數的定義域看其是否關于原點對稱，最后判定f（-x）與f（x）的關系；
（2）分段函數的奇偶性的判定需要分段求解判定，分別在每一段上判定f（-x）與f（x）的關系；
（3）先求函數函數的定義域，然后化簡函數解析式，可得函數f（x）的圖象由兩個點A（-1，0）與B（1，0）組成，
這兩點既關于y軸對稱，又關于原點對稱，從而得到結論；
（4）要分a＞0與a＜0兩類討論，先求出函數的定義域，判定是否對稱，然后根據f（-x）與f（x）的關系進一步判定奇偶性即可．
解答：解：（1）函數定義域為R，
先化簡：f（x）=+1=+1，
f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數；

（2）須要分三段討論：
①設x＞0，∴-x＞0
∴f（-x）=ln（+）=ln=-ln（-）=-f（x）
②設x＜0，∴-x＞0
∴f（-x）=ln（-）=ln=-ln（+）=-f（x）
③當x=0時f（x）=0，也滿足f（-x）=-f（x）；
由①、②、③知，對x∈R有f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數；

（3）∵⇒x²=1，
∴函數的定義域為{x|x=±1}，
∴f（x）=log₂1=0（x=±1），即f（x）的圖象由兩個點A（-1，0）與B（1，0）組成，
這兩點既關于y軸對稱，又關于原點對稱，
∴f（x）既是奇函數，又是偶函數；
（4）∵x²≤a²，

∴要分a＞0與a＜0兩類討論，
①當a＞0時，⇒函數的定義域為（-a，0）∪（0，a）
∴|x+a|＞0，∴f（x）=，
∴當a＞0時，f（x）為奇函數；
②當a＜0時，⇒函數的定義域為（a，0）∪（0，-a）
∵|x+a|＜0，∴f（x）=，取定義域內關于原點對稱的兩點x₁=，x₂=-，
∵f（）±f（-）=±≠0，
∴當a＜0時，f（x）既不是奇函數，也不是偶函數．
點評：本題主要考查了函數的奇偶性的判定，在定義域關于原點對稱的前提下，可根據定義判定函數奇偶性．