Question

【題目】己知函數f（x）=xlnx．
（1）求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）對x≥1，f（x）≤m（x2﹣1）成立，求實數m的最小值；
（3）證明：1n ．（n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）解： f（1）=ln1=0，f′（1）=ln1+1=1；

故曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣0=x﹣1，

即x﹣y﹣1=0

（2）解：∵x≥1，f（x）≤m（x2﹣1），

∴xlnx≤m（x2﹣1），

∴m（x﹣ ）﹣lnx≥0，

設g（x）=m（x﹣ ）﹣lnx，x≥1；

則問題等價于x≥1，g（x）≥0恒成立；

注意到g（1）=0，

∵g′（x）=m（1+ ）﹣ ，

∵x≥1，∴ ，

∴當m≤0時，g（x）在[1，+∞）上單調遞減，

∴g（x）≤g（1）=0，故不成立；

當m＞0時，g′（x）= ，

令h（x）=mx2﹣x+m，

∵△=1﹣4m2，

①若△=1﹣4m2≤0，即m≥ 時；

此時，h（x）≥0，故g′（x）≥0，

故g（x）在[1，+∞）上單調遞增，

故g（x）≥g（1）=0，故成立；

②若△=1﹣4m2＞0，即0＜m＜ 時；

此時，h（x）=0存在兩個不同的實數根x1，x2，

不妨設x1＜x2，

故x1x2=1，故x1＜1＜x2，

故g（x）在[1，x2）上單調遞減，

故g（x）≤g（1）=0，故不成立；

綜上所述，實數m的最小值為

（3）證明：由（2）知，當m= 時，對x≥1，xlnx≤ （x2﹣1）恒成立，

即lnx≤ （當且僅當x=1時等號成立）；

設i∈N*，則 ＞1，

故ln ＜ （ +1）（ ﹣1） = ，

故 ln ＜ ，

故 ，

即1n ．（n∈N*）

【解析】（1）由f（1）=0，f′（1）=1；從而寫出切線方程即可；（2）化簡可得m（x﹣ ）﹣lnx≥0，從而令g（x）=m（x﹣ ）﹣lnx，x≥1；則問題等價于x≥1，g（x）≥0恒成立；從而求導確定函數的單調性及取值情況，從而解得．（3）由（2）知，當m= 時，對x≥1，xlnx≤ （x2﹣1）恒成立，從而化簡可得lnx≤ （當且僅當x=1時等號成立）；再設i∈N* ， 則 ＞1，從而證明．
【考點精析】通過靈活運用函數的最大(小)值與導數，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．