Question

【題目】已知函數g（x）=ax2﹣2ax﹣1+b（a＞0）在區間[2，3]上有最大值4和最小值1．設f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）的對稱軸為在直線x=1，開口向上，

∴g（x）在區間[2，3]上是增函數，

∴ ，解得

（2）解：由（1）可得f（x）=x+ ﹣2，

∴f（2x）=2x+ ﹣2，

∵f（2x）﹣k2x≥0，即 ，

∴ ，

令 =t，則k≤t2﹣2t+1，

∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[ ，2]，記h（t）=t2﹣2t+1=（t﹣1）2，

則h（t）在[ ，2]上先減后增，

∵h（ ）= ，h（2）=1，

∴h（t）max=h（2）=1，

∴k≤1

【解析】（1）根據g（x）的單調性和最值列方程組解出a，b的值；（2）分離參數可得k≤（ ）2﹣ +1，利用換元法求出右側函數的最大值即可得出k的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲挡拍苷�確解答此題．