Question

【題目】設函數，其中．

（）若，求函數的單調遞減區間．

（）求函數的極值．

（）若函數在區間上恰有兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，函數無極值，當時，的極大值為，無極小值；（3）.

【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）討論當時，當時，兩種情況，分別判斷導函數的符號，可得函數的單調區間，結合函數的單調性可得函數的極值；（）若在恰有兩個零點，則，即，解得.

試題解析：（）依題意，函數的定義域為，當時，，，令，得，解得或，又∵，∴函數的單調遞減區間是．

（），，當時，恒成立，∴在上單調遞增，∴無極值，當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，無極小值， 綜上所述，當時，函數無極值，

當時，的極大值為，無極小值．

（）由（）可知，當時，在區間上是增函數，顯然，在區間不可能恰有兩個零點，當時，，又， ∴為的一個零點，∴若在恰有兩個零點，則，即，解得．