Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）= ．
（1）證明：a+b=2c；
（2）求cosC的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由2（tanA+tanB）= 得：

；

∴兩邊同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；

∴2sin（A+B）=sinA+sinB；

即sinA+sinB=2sinC（1）；

根據正弦定理， ；

∴ ， , ，帶入（1）得： ；

∴a+b=2c；

（2）

解：a+b=2c；

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；

∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，當且僅當a=b時取等號；

又a，b＞0；

∴ ；

∴由余弦定理， = ；

∴cosC的最小值為

【解析】（1）由切化弦公式 ，帶入 并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，這樣根據兩角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，從而根據正弦定理便可得出a+b=2c；
（2）根據a+b=2c，兩邊平方便可得出a2+b2+2ab=4c2 ， 從而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了 ，這樣由余弦定理便可得出 ，從而得出cosC的范圍，進而便可得出cosC的最小值．
考查切化弦公式，兩角和的正弦公式，三角形的內角和為π，以及三角函數的誘導公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的應用，不等式的性質．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．