Question

【題目】已知函數在處取得極值，其中為常數．若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】.

【解析】試題分析: 函數在處取得極值，即， ,列出方程組可求出a,b的值,代入函數求出解析式,對函數求導判斷單調性,求出函數的極小值, 且此極小值也是最小值, 要使對任意恒成立，只需小于等于函數的最小值,代入解出c的取值范圍即可.

試題解析：

由題意知f(1)＝b－c＝－3－c，因此b＝－3.

對f(x)求導，得

f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3

＝x3(4aln x＋a＋4b)．

由題意知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，

從而f′(x)＝48x3ln x(x>0)．令f′(x)＝0，解得x＝1.

當0<x<1時，f′(x)<0，此時f(x)為減函數；

當x>1時，f′(x)>0，此時f(x)為增函數．

所以f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝－3－c，

并且此極小值也是最小值．

所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．

整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.

所以c的取值范圍為.

點睛: 本題考查利用導數判斷函數的單調性,求函數的極值和最值以及函數的恒成立問題,屬于中檔題目.恒成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉化為求函數最值處理．也可構造新函數然后利用導數來求解,注意利用數形結合的數學思想方法.