Question

【題目】已知函數f（x）=ex ， g（x）=lnx
（1）若曲線h（x）=f（x）+ax2﹣ex（a∈R）在點（1，h（1））處的切線垂直于y軸，求函數h（x）的單調區間；
（2）若函數 在區間（0，2）上無極值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵h（x）=f（x）+ax2﹣ex=ex+ax2﹣ex

∴h′（x）=ex+2ax﹣e，

又∵曲線h（x）在點（1，h（1））處的切線垂直于y軸

∴k=h′（1）=2a，

由k=2a=0得a=0，

∴h（x）=ex﹣ex∴h′（x）=ex﹣e，

令h′（x）=ex﹣e＞0得x＞1，

令h′（x）=ex﹣e＜0得x＜1，

∴故h（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（﹣∞，1）

（2）解：∵

∴

①當a≤0時，在區間（0，2）上 恒成立，即函數F（x）在區間（0，2）上單調遞減，故函數F（x）在區間（0，2）上無極值；

②當a＞0時，令 得：x=a，

當x變化時，F′（x）和F（x）的變化情況如下表

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	+	0	﹣
F（x）	單調遞增↗	極大值	單調遞減↘

∴函數F（x）在x=a處有極大值，

∴要使函數F（x）在區間（0，2）上無極值，只需a≥2，

綜上①②所述，實數a的取值范圍為（﹣∞，0]∪[2，+∞）

【解析】（1）把f（x）代入曲線h（x），求h（x）的導函數，讓導函數在x=1時的函數值為0，求解a的值，把a值代回原函數，由h′（x）大于0和小于0分別求函數的單調區間；（2）函數 在區間（0，2）上無極值，說明函數 在區間（0，2）上是單調函數，把函數F（x）求導后根據a的符號不同對a進行分類討論，以保證導函數在區間（0，2）上大于0或小于0恒成立，從而求出a的具體范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．