Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若a=0時，求函數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=0時，f（x）=x2﹣lnx的導數為f′（x）=2x﹣ ，

函數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=2﹣1=1，切點為（1，1），

則有切線方程為y﹣1=x﹣1，即為x﹣y=0

（2）解：∵函數f（x）在[1，2]內是減函數，

∴f'（x）= ≤0在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，有 得 ，

∴a≤﹣

【解析】（1）求出a=0時函數的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；（2）先對函數f（x）進行求導，根據函數f（x）在[1，2]上是減函數可得到其導函數在[1，2]上小于等于0應該恒成立，再結合二次函數的性質可求得a的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．