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如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，平面，，，分別為，的中點，．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

（1）證明過程詳見解析；（2）

解析試題分析：本題主要考查線面位置關系的證明、二面角等基礎知識，同時考查空間想象能力和計算能力.第一問，法一：利用E、F為PC、OC中點，得，由于平面，所以，利用面面垂直的判定得平面平面，因為PO為等腰三角形底邊上的高，所以，由于AD是面ABCD與面PAD的交線，所以平面，又因為，所以平面，所以EF垂直面內的線AB，在中根據已知的邊長可知，所以利用線面垂直的判定得平面，從而得；第二問，作出輔助線HE，AE，利用線面垂直平面ABCD，先得到面面垂直平面平面，得平面POC，所以AH垂直面內的線PC，在等腰三角形APC中，，利用線面垂直得平面AHE，則，得出為二面角的平面角，在三角形內解出的正弦值，再求；法二：第一問，要證明，只需證明，根據已知條件找出垂直關系，建立空間直角坐標系，根據邊長寫出各個點坐標，計算出向量和的坐標，再計算數量積；第二問，利用第一問建立的空間直角坐標系，先計算出平面PAC和平面POC的法向量，利用夾角公式直接求夾角的余弦值.
試題解析：解法一：（1）設，連接,
分別是、的中點，則，…1分
已知平面，平面，所以平面平面，
又，為的中點，則，
而平面平面，
所以平面，
所以平面，
又平面，所以；     3分
在中，，；
又，所以平面，
又平面，所以.         &nb

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.
（1）求二面角的的余弦值；
（2）求點到面的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿直線BD將△BCD翻折成△BCD，使得平面BCD平面ABD．

(1)求證：C'D平面ABD；
(2)求直線BD與平面BEC'所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,在四棱錐S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,SD=AD=AB,E是SA的中點.

(1)求證:平面BED⊥平面SAB.
(2)求直線SA與平面BED所成角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖幾何體中,四邊形為矩形，，，，，為的中點，為線段上的一點，且.

（1）證明：面；
（2）證明：面面；
（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,四棱錐S-ABCD中,ABCD為矩形,SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=a(a>0),AB=2AD,SD=AD,E為CD上一點,且CE=3DE.

(1)求證:AE⊥平面SBD.
(2)M,N分別為線段SB,CD上的點,是否存在M,N,使MN⊥CD且MN⊥SB,若存在,確定M,N的位置;若不存在,說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，AD＝1，CD＝3，PD＝.
 
(1)證明：△PBC為直角三角形；
(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四邊形ABCD滿足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.點E，F分別為側棱PB，PC上的點，且＝λ.

(1)求證：EF∥平面PAD.
(2)當λ＝時，求異面直線BF與CD所成角的余弦值；
(3)是否存在實數λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F為PC的中點，AF⊥PB.

(1)求PA的長；
(2)求二面角B-AF-D的正弦值．

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