Question

【題目】已知函數.

（1）證明：；

（2）（i）證明：當時，對任意，總有；

（ii）討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析（ii）當或時，函數有唯一零點；當且時，函數有兩個零點

【解析】

（1），用導數法求得最小值大于零即可。

（2）（i）證明：由（1）知：，根據，利用根的分布證明。（ii）將的零點問題，轉化為的零點問題，求導，分，, ，，四種情況討論求解。

（1）令，

則.

當時，；當時，，

故在上單調遞減；在上單調遞增，

所以，即.

（2）（i）證明：由（1）知：

.

當，時，，

，故.

（ii），令，則.

因為函數的定義域為，

故的零點與的零點相同，

所以下面研究函數在上的零點個數.

∵，∴.

①當時，在上恒成立，

∴在上單調遞增.

∵，.

∴存在唯一的零點，使得.

②當時，，

可得在上單調遞減，在上單調遞增.

∴的最小值為.

令，則，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，又.

當時，有唯一零點；

當，即時，且.

∵，∴在上有唯一的零點.

又由（i）知：在上存在唯一零點，不妨設，

∴在上有唯一的零點，

故此時在上有兩個零點；

當，即時，且，，.

又，由函數零點存在定理可得在上有唯一零點，

故在，上各一個唯一零點.

綜上可得：當或時，函數有唯一零點；

當且時，函數有兩個零點.