Question

【題目】已知橢圓的上、下焦點分別為，，離心率為，點 在橢圓C上，延長交橢圓于N點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）P，Q為橢圓上的點，記線段MN，PQ的中點分別為A，B（A，B異于原點O），且直線AB過原點O，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為3

【解析】

（1）利用待定系數法以及橢圓的離心率即可求解.

（2）由（1）可知，可求，與橢圓聯立，設，，根據設而不求的思想求出，設直線，

與橢圓方程聯立，由弦長公式以及點到直線的距離公式求出面積表達式，借助基本不等式即可求出.

（1）依題意，，

解得，，故橢圓C的方程為；

（2）由（1）可知，，故直線，

設，，則，兩式相減得，

因為PQ不過原點，所以，即，

同理：，

又因為直線AB過原點O，所以，所以，

設直線，

由得，

由，得，

由韋達定理得，，

所以,

又因為到直線PQ的距離，

所以，

當且僅當，即時等號成立，

所以面積的最大值為3．