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【題目】設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a、b、c，a=btanA，且B為鈍角．
（1）證明：B﹣A= ；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

【答案】
（1）證明：由a=btanA和正弦定理可得 = = ，

∴sinB=cosA，即sinB=sin（ +A）

又B為鈍角，∴ +A∈（ ，π），

∴B= +A，∴B﹣A= ；


（2）解：由（1）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+ +A）= ﹣2A＞0，

∴A∈（0， ），∴sinA+sinC=sinA+sin（ ﹣2A）

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A

=﹣2（sinA﹣ ）2+ ，

∵A∈（0， ），∴0＜sinA＜ ，

∴由二次函數可知 ＜﹣2（sinA﹣ ）2+ ≤

∴sinA+sinC的取值范圍為（ ， ]


【解析】（1）由題意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范圍和誘導公式可得；（2）由題意可得A∈（0， ），可得0＜sinA＜ ，化簡可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣ ）2+ ，由二次函數區間的最值可得．
【考點精析】關于本題考查的正弦定理的定義，需要了解正弦定理:才能得出正確答案．

練習冊系列答案
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【題目】(1)求與橢圓有公共焦點，并且離心率為的雙曲線方程．

(2)已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點F交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長．

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【題目】已知函數f（x）=x+ +b（x≠0），其中a，b∈R．若對任意的a∈[ ，2]，不等式f（x）≤10在x∈[ ，1]上恒成立，則b的取值范圍為明 ．

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【題目】在區間上任取一個數記為a，在區間上任取一個數記為b．

若a，，求直線的斜率為的概率；

若a，，求直線的斜率為的概率．

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【題目】如圖，已知是半圓的直徑，，是將半圓圓周四等分的三個分點．

（1）從這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；

（2）在半圓內任取一點，求的面積大于的概率．

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【題目】已知函數f（1﹣ ）的定義域為[1，+∞），則函數y= 的定義域為 ．

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【題目】為了解人們對于國家新頒布的“生育二胎放開”政策的熱度，現在某市進行調查，隨機調查了50人，他們年齡的頻數分布及支持“生育二胎”人數如表：

年齡

[5，15）

[15，25）

[25，35）

[35，45）

[45，55）

[55，65）

頻數

5

10

15

10

5

5

支持“生育二胎”

4

5

12

8

2

1


（1）由以上統計數據填下面2乘2列聯表，并問是否有的99%把握認為以45歲為分界點對“生育二胎放開”政策的支持度有差異：
（2）若對年齡在[5，15），[35，45）的被調查人中各隨機選取兩人進行調查，記選中的4人不支持“生育二胎”人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望；

年齡不低于45歲的人數

年齡低于45歲的人數

合計

支持

a=

c=

不支持

b=

d=

合計

參考數據：

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

K2= ．

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【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，點為的中點．

（1）求證：平面；

（2）若平面 平面，求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】已知函數f（x）=﹣x2+alnx（a∈R）．
（1）當a=2時，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數g（x）=f（x）﹣2x+2x2 ， 討論函數g（x）的單調性；
（3）若（2）中函數g（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求實數m的取值范圍．

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