Question

【題目】在四面體ABCD中，AB=CD=2 ，AD=BD=3，AC=BC=4，點E，F，G，H分別在棱AD，BD，BC，AC上，若直線AB，CD都平行于平面EFGH，則四邊形EFGH面積的最大值是 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：∵直線AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB； 同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以：FG∥EH，EF∥HG．
故：四邊形EFGH為平行四邊形．
又∵AD=BD，AC=BC的對稱性，可知AB⊥CD．
所以：四邊形EFGH為矩形．
設BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）
FG=2 x，HG=2 （1﹣x）
SEFGH=FG×HG=8x（1﹣x）=﹣8（x﹣ ）2+2，
根據二次函數的性質可知：SEFGH面積的最大值2．
所以答案是2．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的性質的相關知識，掌握一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行．