Question

【題目】定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，則實數a=

Answer 1

【答案】
【解析】解：圓x2+（y+4）2=2的圓心為（0，﹣4），半徑為 ，
圓心到直線y=x的距離為=2 ，
∴曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離為2﹣= ．
則曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于 ，
令y′=2x=1解得x= ， 故切點為（ ， +a），
切線方程為y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，
由題意可知x﹣y﹣+a=0與直線y=x的距離為 ，
即解得a=或﹣ ．
當a=﹣時直線y=x與曲線C1：y=x2+a相交，故不符合題意，舍去．
故答案為： ．
先根據定義求出曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，然后根據曲線C1：y=x2+a的切線與直線y=x平行時，該切點到直線的距離最近建立等式關系，解之即可．