Question

【題目】設函數 .若曲線在點處的切線方程為（為自然對數的底數）.

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）先根據導數幾何意義得，再由，解得.最后求出導函數零點，列表分析導函數符號變號規律，進而確定單調區間，（2）先分離，再求函數最大值，即得實數的取值范圍.

試題解析：（1）函數的定義域為.

.

依題意得， ，即

所以.

所以， .

當時， ；當時， .

所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

（2）設函數，故對任意，不等式恒成立.

又，當，即恒成立時，

函數單調遞減，設，則，

所以，即，符合題意；

當時， 恒成立，此時函數單調遞增.

于是，不等式對任意恒成立，不符合題意；

當時，設，

則 ；

當時， ，此時單調遞增，

所以 ，

故當時，函數單調遞增.

于是當時， 成立，不符合題意；

綜上所述，實數的取值范圍為： .