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【題目】已知，函數.

（1）是函數數的導函數，記，若在區間上為單調函數，求實數a的取值范圍；

（2）設實數，求證：對任意實數，總有成立.

附：簡單復合函數求導法則為.

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）由題得，再對a分兩種情況討論結合導數得解；（2）不妨設，取為自變量構造函數，再證明，即證得.

（1）由已知得，記，則.

①若，，在定義域上單調遞增，符合題意；

②若，令解得，自身單調遞增，

要使導函數在區間上為單調函數，

則需，解得，

此時導函數在區間上為單調遞減函數.

綜合①②得使導函數在區間上為單調函數的的取值范圍是.

（2）因為，不妨設，取為自變量構造函數，

，則其導數為

在R上單調遞增

而且，

所以，

即.

故關于的函數單調遞增，

即證得.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】對于雙曲線：（），若點滿足，則稱在的外部；若點滿足，則稱在的內部.

（1）若直線上點都在的外部，求的取值范圍；

（2）若過點，圓（）在內部及上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求、滿足的關系式及的取值范圍；

（3）若曲線（）上的點都在的外部，求的取值范圍.

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【題目】已知集合函數,函數的值域為,

(1)若不等式的解集為,求的值;

(2)在(1)的條件下,若恒成立,求的取值范圍;

(3)若關于的不等式的解集,求實數的值

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【題目】設函數由方程到確定，對于函數給出下列命題：

①對任意，都有恒成立：

②，使得且同時成立；

③對于任意恒成立；

④對任意，，

都有恒成立.其中正確的命題共有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

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【題目】如圖圓錐PO，軸截面PAB是邊長為2的等邊三角形，過底面圓心O作平行于母線PA的平面，與圓錐側面的交線是以E為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到其頂點E的距離為( )

A.1B.C.D.

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【題目】（理）已知數列滿足（），首項．

（1）求數列的通項公式；

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【題目】對于定義在上的函數，若函數滿足：①在區間上單調遞減；②存在常數p，使其值域為，則稱函數為的“漸近函數”；

（1）證明：函數是函數的漸近函數，并求此時實數p的值；

（2）若函數，證明：當時，不是的漸近函數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】甲乙兩人同時參加一次數學測試,共有20道選擇題,每題均有4個選項,答對得3分,答錯或不答得0分,甲和乙都解答了所有的試題,經比較,他們只有2道題的選項不同,如果甲最終的得分為54分,那么乙的所有可能的得分值組成的集合為________.

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【題目】如圖，空間直角坐標系中，四棱錐的底面是邊長為的正方形，且底面在平面內，點在軸正半軸上，平面，側棱與底面所成角為45°；

（1）若是頂點在原點，且過、兩點的拋物線上的動點，試給出與滿足的關系式；

（2）若是棱上的一個定點，它到平面的距離為（），寫出、兩點之間的距離，并求的最小值；

（3）是否存在一個實數（），使得當取得最小值時，異面直線與互相垂直？請說明理由；

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