Question

【題目】對于雙曲線：（），若點滿足，則稱在的外部；若點滿足，則稱在的內部.

（1）若直線上點都在的外部，求的取值范圍；

（2）若過點，圓（）在內部及上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求、滿足的關系式及的取值范圍；

（3）若曲線（）上的點都在的外部，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）.

【解析】

（1）直線上點都在的外部等價于不等式的解為一切實數，轉化為恒成立問題從而求解；

（2）根據對稱性，只需要考慮這兩個曲線在第一象限及、軸正半軸的情況，由此可得兩曲線的交點坐標為，將點和代入雙曲線得到兩個方程，然后將看成已知數，解出，根據，解出的范圍；

（3）先將曲線（）轉化為，根據所有點都在的外部，可以得到不等式對任意非零實數均成立，令，轉化為函數進行分類討論，求解最值，從而得出的取值范圍.

解：（1）由題意，因為直線上點都在的外部，

所以直線上點滿足，

即求不等式的解為一切實數時的取值范圍.

對于不等式，

當時，不等式的解集不為一切實數，

于是有解得.

故的取值范圍為.

（2）因為圓和雙曲線均關于坐標軸和原點對稱，

所以只需考慮這兩個曲線在第一象限及、軸正半軸的情況.

由題設，圓與雙曲線的交點平分該圓在第一象限內的圓弧，

它們交點的坐標為.

將，代入雙曲線方程，

得（*），

又因為過點，

所以，

將代入（*）式，

得.

由，

解得.

因此，的取值范圍為.

（3）由，

得.

將代入，

因為曲線（）上的點都在的外部，

所以不等式對任意非零實數均成立，

其中.

令，設，（）.

當時，函數在上單調遞增，不恒成立；

當時，，

函數的最大值為，

因為，所以；

當時，.

綜上，，解得.

因此，的取值范圍為.