【題目】已知函數
.
(1)求函數
的圖象在
處的切線方程；
(2)若任意
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
(3)設
， 
，
證明： 
.
【答案】(1) 
；(2)： 
；(3)證明見解析.
【解析】試題分析：
(1) 求導,易得結果為
;
(2) 原不等式等價于
,令
,
,令
,分
, 
,
三種情況討論函數的單調性,則可得結論;
(3) 利用定積分求出m的值,由(2)知,當
時, 
,則
, 令
, 
,求導并判斷函數
的單調性,求出
, 即
在
上恒成立, 令
,則結論易得.
試題解析：
(1) 
， 
，∴切線為
(2) 
，令
則
又令
①當
，即
時， 
恒成立，∴
遞增
∴
，∴
，∴
遞增
∴
(不合題意)
②當
即
時， 
遞減，
∴
，∴
，∴
遞減
∴
(符合題意)
③當
，即
時，由
，∴在
上， 
，使
且
時， 
，∴
遞增，∴
(不符合題意)
綜上： 
.
(3) 
∴
，由(2)知，當
時， 
，∴
，
又令
， 
，∴
遞減
即
在
上恒成立，令
∴原不等式
∴左式
右式
∴得證.
輕松課堂單元期中期末專題沖刺100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有下列命題：
①雙曲線
與橢圓
有相同的焦點；
②“
”是“2x2﹣5x﹣3＜0”必要不充分條件；
③“若xy=0，則x、y中至少有一個為0”的否命題是真命題．；
④若p是q的充分條件，r是q的必要條件，r是s的充要條件，則s是p的必要條件；
其中是真命題的有： ．（把你認為正確命題的序號都填上）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示， 
是某海灣旅游區的一角，其中
，為了營造更加優美的旅游環境，旅游區管委會決定在直線海岸
和
上分別修建觀光長廊
和AC，其中
是寬長廊，造價是
元/米， 
是窄長廊，造價是
元/米，兩段長廊的總造價為120萬元，同時在線段
上靠近點
的三等分點
處建一個觀光平臺，并建水上直線通道
（平臺大小忽略不計），水上通道的造價是
元/米．
(1) 若規劃在三角形
區域內開發水上游樂項目，要求
的面積最大，那么
和
的長度分別為多少米？
(2) 在(1)的條件下，建直線通道
還需要多少錢？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
中， 
， 
， 
分別為棱
的中點.
（1）在平面
內過點
作
平面
交
于點
，并寫出作圖步驟，但不要求證明.
（2）若側面
側面
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義向量 
=（a，b）的“相伴函數”為f（x）=asinx+bcosx，函數f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為 =（a，b）（其中O為坐標原點）．記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S．
（1）設g（x）=3sin（x+ 
）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x﹣2）2+y2=1上一點，向量 的“相伴函數”f（x）在x=x0處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x0的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）= 
（0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（1）求k的值及f（x）的表達式．
（2）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）= 
的定義域為集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}
（1）求A，（RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求實數a的取值范圍．
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