Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，是坐標原點．

（1）若直線過點且，求直線的方程；

（2）已知點，若直線不與坐標軸垂直，且，證明：直線過定點．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）法一：焦點，當直線斜率不存在時，方程為，說明不符合題意，故直線的斜率存在，設直線方程為與聯立得，利用韋達定理轉化求解，求解直線方程．

法二：焦點，顯然直線不垂直于軸，設直線方程為，與聯立得，設，，利用韋達定理以及距離公式，轉化求解即可．

（2）設，，設直線方程為與聯立得：，通過韋達定理以及斜率關系，求出直線系方程，即可推出結果．

解：（1）法一：焦點，

當直線斜率不存在時，方程為，與拋物線的交點坐標分別為，，

此時，不符合題意，故直線的斜率存在．

設直線方程為與聯立得，

當時，方程只有一根，不符合題意，故.，

拋物線的準線方程為，

由拋物線的定義得，

解得，

所以方程為或.

法二：焦點，顯然直線不垂直于軸，設直線方程為,

與聯立得，設，，，.

，

由，解得，

所以方程為或.

（2）設，，

設直線方程為與聯立得：，

可得，.

由得，即.

整理得，即，

整理得，

即，即.

故直線方程為過定點.