Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，，為正三角形，且.

（1）證明：直線平面；

（2）若四棱錐的體積為，是線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明，，推出平面；

（2）以為原點，直線、分別為軸，軸，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，由（1）的結論知，平面，所以則向量與向量所成的角或其補角與直線與平面所成的角互余，計算結果即可.

（1），且，，

又為正三角形，所以，

又，，所以，又，//，

，，所以平面.

（2）設點到平面的距離為，則，依題可得，以為原點，直線、分別為軸，軸，建立空間直角坐標系，分別求出各點的坐標和向量，由（1）可知平面，故向量是平面的一個法向量，則向量與向量所成的角或其補角與直線與平面所成的角互余.

則，，，，則，設，

由，，可得，解得，，

即，

所以，又由（1）可知，是平面的一個法向量，

∴，

所以直線與平面所成角的正弦值為.