Question

【題目】已知函數f（x）＝|x﹣1|，關于x的不等式f（x）＜3﹣|2x+1|的解集記為A．

（1）求A；

（2）已知a，b∈A，求證：f（ab）＞f（a）﹣f（b）．

Answer 1

【答案】（1）{x∈R|﹣1＜x＜1}； （2）見解析.

【解析】

（1）分類討論，去掉絕對值符號，即可求A；

（2）利用作差法，即可證明：f（ab）＞f（a）﹣f（b）．

（1）由f（x）＜3﹣|2x+1|，得|x﹣1|+|2x+1|＜3，

即或或

解得或，

所以，集合A＝{x∈R|﹣1＜x＜1}．

（2）∵a，b∈A，∴﹣1＜ab＜1，

∴f（ab）＝|ab﹣1|＝1﹣ab，f（a）＝|a﹣1|＝1﹣a，f（b）＝|b﹣1|＝1﹣b，

∵f（ab）﹣（f（a）﹣f（b））＝1﹣ab﹣1+a+1﹣b＝（1+a）（1﹣b）＞0，

∴f（ab）＞f（a）﹣f（b）．