Question

【題目】如圖所示，橢圓的左、右頂點分別為，離心率，長軸與短軸的長度之和為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）在橢圓上任取點（與兩點不重合），直線交軸于點，直線交軸于點，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4

【解析】

（Ⅰ）由題意，2a+2b＝10，結合 解得a＝3，b＝2，即得到橢圓方程；（Ⅱ）設P（x0，y0），直線PA交y軸于點C（0，y1），直線PB交y軸于點D（0，y2），求得直線PA，PB的方程，分別求出y1，y2，再根據向量的數量積即可證明.

（Ⅰ）由題可知，，又解得.故橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）解法1：設，直線交軸于點，直線交軸于點.則，即.易知同向，故.

因為，，所以得直線的方程為，令，則；直線的方程為，令，則,

所以 ，為定值.

解法2：的左、右頂點分別為、，則有

由（Ⅰ）知，設直線、的斜率分別為，則.

直線的方程為，令得；直線的方程為

令得.所以.

解法3：的左、右頂點分別為、，則

如題圖所示，

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