Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點為橢圓上任意一點，關于原點的對稱點為，有，且的最大值.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若是關于軸的對稱點，設點，連接與橢圓相交于點，問直線與軸是否交于一定點.如果是，求出該定點坐標；如果不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點.

【解析】

（1）由對稱可得，故．又根據的最大值得到，進而得到，，所以可得到橢圓的方程．

（2）由題意可設直線的方程為，結合由直線方程與橢圓方程組成的方程組可得直線的方程為，令得，將，代入上式整理得，然后代入兩根和與兩根積可得，從而得直線與軸交于定點．

（1）因為點為橢圓上任意一點，關于原點的對稱點為，

所以，

又，

所以，

．

又的最大值為，知當為上頂點時，最大，

所以，

所以，

所以．

所以橢圓的標準方程為．

（2）由題知直線的斜率存在，設直線的方程為．

由消去并整理得．

因為直線與橢圓交于兩點，

所以，

解得．

設，，則，

且，，①

由題意得，直線的方程為，

令得，

將，代入上式整理得．

將①代入上式，得，

所以直線與軸交于定點．