Question

【題目】已知函數．

Ⅰ討論的單調性；

Ⅱ若對恒成立，求實數a的取值范圍；

Ⅲ當時，設為自然對數的底若正實數滿足，證明：

Answer 1

【答案】Ⅰ見解析ⅡⅢ證明見解析

【解析】

Ⅰ求導后討論的取值范圍進行分析即可

Ⅱ參變量分離后有恒成立,再設函數求導分析最大值即可.

Ⅲ先證：存在,使得,利用導數的幾何意義列構造函數,代入所證明的表達式中的自變量化簡分析即可.

Ⅰ函數的定義域為,

當時,,函數在上單調遞增；

當時,令解得,令解得,故此時函數在上單調遞增,在上單調遞減；

Ⅱ對恒成立,即為對任意的,都有,

設,則,令,則,

在上單調遞減,且,

當時,單調遞增；

當單調遞減,

,

實數a的取值范圍為．

Ⅲ證明：當時,,不妨設,

下先證：存在,使得,

構造函數,顯然,且,

則由導數的幾何意義可知,存在,使得,即存在,使得,

又為增函數,

,即,

設,則,

,

,

由得,,

即