Question

【題目】若數列前項和為

(1)若首項,且對于任意的正整數均有,(其中為正實常數),試求出數列的通項公式.

(2)若數列是等比數列,公比為,首項為,為給定的正實數,滿足:①,且②對任意的正整數,均有;試求函數的最大值(用和表示)

Answer 1

【答案】(1)(2)

【解析】

(1)先根據,(其中為正實常數),求出,然后利用進行求解,注意驗證首項;

(2)先求出,然后根據條件判定的符號,從而確定的單調性,從而求出最大值.

解:(1)∵,(其中為正實常數),

∴，所以當時，，因為，所以

∴當時，即,

所以數列從第二項起，是以為公比的等比數列，所以時，，

∴

(2)由題意，因為

所以

∵,且對任意的正整數,均有，

∴

，

因為，由題中條件可得：，，，，，，，

所以，，

即，

∴是一個關于的單調遞減的函數,最大值為.