Question

【題目】某加油站擬建造如圖所示的鐵皮儲油罐(不計厚度，長度單位為米)，其中儲油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，(為圓柱的高，為球的半徑，).假設該儲油罐的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為千元，半球形部分每平方米建造費用為千元.設該儲油罐的建造費用為千元.

(1) 寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；

(2) 若預算為萬元，求所能建造的儲油罐中的最大值(精確到)，并求此時儲油罐的體積(單位: 立方米，精確到立方米).

Answer 1

【答案】(1) ，；(2) (米)，立方米.

【解析】

（1）先利用公式計算兩個半球的表面積（不含底）以及圓柱的側面積，再根據每平方米建造費用可得關于的函數表達式，注意的范圍.

（2）根據預算可得關于的不等式，求出其解后可得的最大值，利用公式可求該幾何體的體積.

(1) 半球的表面積（不含底），圓柱的側面積.

于是.

定義域為.

(2) ，即，解得.

，

經計算得(立方米).

故的最大值為(米)，此時儲油罐的體積約為立方米.