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【題目】過雙曲線的右支上的一點P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點，其中P是的中點；

（1）求雙曲線的漸近線方程；

（2）當P坐標為時，求直線l的方程；

（3）求證：是一個定值．

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

(1)根據漸近線的方程直接求解即可.

(2)根據題意求出點P坐標,再根據中點坐標公式求解的坐標,進而求得直線l的斜率,再利用點斜式求解方程即可.

(3) 設,,,根據P是的中點求出,,進而求得,最后利用雙曲線的方程求解即可.

（1）雙曲線的,,可得雙曲線的漸近線方程為,

即為；

（2）令可得,解得,（負的舍去）,設,,

由P為的中點,可得,,解得,,

即有,可得的斜率為,

則直線l的方程為,即為；

（3）證明：設,即有,設,,

由P為的中點,可得,,解得,,

則為定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知定義在實數集上的函數，把方程稱為函數的特征方程，特征方程的兩個實根，稱為的特征根.

（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；

（2）求表達式；

（3）把函數，的最大值記作、最小值記作，令，若恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，為直角，平面，，且.

（1）求證：；

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】經過多年的運作，“雙十一”搶購活動已經演變成為整個電商行業的大型集體促銷盛宴.為迎接2014年“雙十一”網購狂歡節，某廠家擬投入適當的廣告費，對網上所售產品進行促銷.經調查測算，該促銷產品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費用x萬元滿足(其中，a為正常數)．已知生產該產品還需投入成本萬元(不含促銷費用)，產品的銷售價格定為

元／件，假定廠家的生產能力完全能滿足市場的銷售需求．

(1)將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；

(2)促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于兩點，延長交橢圓于點，的周長為8.

（1）求的離心率及方程；

（2）試問：是否存在定點，使得為定值？若存在，求；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某加油站擬建造如圖所示的鐵皮儲油罐(不計厚度，長度單位為米)，其中儲油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，(為圓柱的高，為球的半徑，).假設該儲油罐的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為千元，半球形部分每平方米建造費用為千元.設該儲油罐的建造費用為千元.

(1) 寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；

(2) 若預算為萬元，求所能建造的儲油罐中的最大值(精確到)，并求此時儲油罐的體積(單位: 立方米，精確到立方米).

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，對于點、直線，我們稱為點到直線的方向距離.

（1）設橢圓上的任意一點到直線，的方向距離分別為、，求的取值范圍.

（2）設點、到直線的方向距離分別為、，試問是否存在實數，對任意的都有成立？若存在，求出的值；不存在，說明理由.

（3）已知直線和橢圓，設橢圓的兩個焦點，到直線的方向距離分別為、滿足，且直線與軸的交點為、與軸的交點為，試比較的長與的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（1）若動點到定點的距離與到定直線：的距離之比為，求證：動點的軌跡是橢圓；

（2）設（1）中的橢圓短軸的上頂點為，試找出一個以點為直角頂點的等腰直角三角形，并使得、兩點也在橢圓上，并求出的面積；

（3）對于橢圓(常數)，設橢圓短軸的上頂點為，試問：以點為直角頂點，且、兩點也在橢圓上的等腰直角三角形有幾個？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設橢圓，定義橢圓C的“相關圓”E為:.若拋物線的焦點與橢圓C的右焦點重合，且橢圓C的短軸長與焦距相等.

（1）求橢圓C及其“相關圓”E的方程；

（2）過“相關圓”E上任意一點P作其切線l，若l 與橢圓交于A,B兩點，求證:為定值（為坐標原點）；

（3）在（2）的條件下，求面積的取值范圍.

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