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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于兩點，延長交橢圓于點，的周長為8.

（1）求的離心率及方程；

（2）試問：是否存在定點，使得為定值？若存在，求；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）,； （2）存在點，且.

【解析】

（1）由已知條件得，，即可計算出離心率和橢圓方程

（2）假設存在點，分別求出直線的斜率不存在、直線的斜率存在的表達式，令其相等，求出結果

（1）由題意可知，，則，

又的周長為8，所以，即，

則，.

故的方程為.

（2）假設存在點，使得為定值.

若直線的斜率不存在，直線的方程為，，，

則.

若直線的斜率存在，設的方程為，

設點，，聯立，得，

根據韋達定理可得：，，

由于，，

則

因為為定值，所以，

解得，故存在點，且.

練習冊系列答案
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【題目】已知， .

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若，求實數的取值范圍.

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【題目】橢圓上一點A關于原點的對稱點為B，F為橢圓的右焦點，AF⊥BF，∠ABF＝，，，則橢圓的離心率的取值范圍為_______．

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【題目】拋物線的焦點為，準線為，是拋物線上的兩個動點，且滿足．設線段的中點在上的投影為，則的最大值是_______.

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【題目】已知函數.

（1）當時，求在區間上的最值；

（2）討論函數的單調性；

（3）當時，有恒成立，求的取值范圍.

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【題目】[選修4－4：坐標系與參數方程]

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）.

（1）求和的直角坐標方程；

（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率．

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【題目】已知函數．

（1）時，解關于x的不等式；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數a的取值范圍．

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【題目】已知函數有兩個極值點。

（1）求的取值范圍；

（2）求證：。

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【題目】(1)求與直線3x＋4y－7＝0垂直，且與原點的距離為6的直線方程；

(2)求經過直線l1：2x＋3y－5＝0與l2：7x＋15y＋1＝0的交點，且平行于直線x＋2y－3＝0的直線方程．

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