Question

已知函數，。
（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）求函數在區間上的最小值；
（Ⅲ）試判斷方程（其中）是否有實數解？并說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）和（Ⅱ）（Ⅲ）沒有。理由見解析。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）利用函數的定義域和導函數，結合導數的正負號與函數單調性的關系得到結論。
（2）在第一問的基礎上判定極值和端點值，進而得到最值。
（3）要方程無實數解則可以利用函數沒有零點，結合導數的思想來判定解得。
解：（Ⅰ）因為
          1分
則有        2分
當，或時，
，此時單調遞增
所以，函數的單調遞增區間是和          3分
（Ⅱ）因為，
所以
當，即時，函數單調遞增；
當，即時，函數單調遞減            4分
于是，當時，，函數在區間上單調遞增
此時，            5分
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增
此時，。
綜上所述，            6分
（Ⅲ）方程沒有實數解
由，
得：            7分
設
則
當時，；
當時，
故函數在上單調遞增，
在上單調遞減             8分
所以，函數在上的最大值為
由（Ⅱ）可知，
在上的最小值為          9分
而，所以方程沒有實數解              10分