Question

【題目】是定義在區間上且同時滿足如下條件的函數所組成的集合：

①對任意的，都有；

②存在常數，使得對任意的，都有

（1）設，試判斷是否屬于集合；

（2）若，如果存在，使得，求證：滿足條件的是唯一的；

（3）設，且，試求參數的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）是的元素；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）構造函數f（x）＝φ（x）xx2x+1，判斷單調性求最值即可證明

（2）要證明唯一性通過反證法來證明，假設滿足這樣條件的x0有兩個，導出矛盾．

（3）轉化為c（x2﹣x1）恒成立，利用單調性求最值求解

（1）x∈[1，2]，所以φ（x）∈（，）

令f（x）＝φ（x）xx2x+1，則f'（x）x，

因為x∈[1，2]，所以f'（x）≤0，所以f（x）在[1，2]上單調遞減，

對任意1≤x1≤x2≤2，f（x1）≤f（x2）φ（x2）﹣φ（x1）（x2﹣x1）|φ（x1）﹣φ（x2）||x1﹣x2|,即存在

所以φ（x）∈A．

（2）假設存在不同的兩個數a、b∈（1，2），使得φ（a）＝a，φ（b）＝b，

因為φ（x）∈A，所以|φ（a）﹣φ（b）|＝|a﹣b|≤c|a﹣b|，

因為a≠b，所以|a﹣b|＞0，所以1≤c，與c＜1矛盾．

所以滿足x0＝φ（x0）的x0是唯一的．

（3）因為φ（x）單調遞增，故φ（x）∈（1，2），所以，解得b∈（，）；

對任意1≤x1≤x2≤2，|φ（x1）﹣φ（x2）|c（x2﹣x1）

所以對任意1≤x1≤x2≤2恒成立，

所以b．

綜上b∈（，）．