Question

【題目】已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上，中心在原點.若橢圓短軸的上頂點到直線的距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若橢圓的下頂點為，設直線與橢圓相交于不同的兩點，，當時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據橢圓的頂點坐標及焦點位置，可得；由上頂點到直線的距離，結合點到直線距離公式可求得，即可得橢圓的方程；

（2）設，，弦的中點，聯立直線方程與橢圓方程，根據兩個不同交點可知，得；由中點坐標公式及韋達定理表示出的坐標，由題意可知，進而由兩條直線垂直時的斜率關系得，即，由上述三式即可確定的取值范圍.

（1）依題意可設橢圓方程為，則橢圓上頂點.

由題設，解得，

因為焦點在軸上，所以舍去.

∴所求橢圓的方程為.

（2）設，，弦的中點.

由，得.

∵直線與橢圓相交，

∴.①

∴，從而.

由（1）得，

∴.

又∵，

∴，

則，即.②

把②代入①，得，解得；

由②，得，解得.

綜上求得的取值范圍是.