Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過、、三點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線：（）與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．

Answer 1

【答案】（1）;（2）詳見解析．

【解析】

試題（1）當焦點不確定在哪個軸時，可以分別討論在軸時，，代入點，當在軸時，代入點解或，成立的就是橢圓方程;或直接設橢圓的一般式，代入三點的坐標解方程組；

（2）直線方程與橢圓方程聯立，設，，由根與系數的關系得到和設直線的方程，直線的方程為后有三種方法，法一，當時計算交點的縱坐標，并根據直線方程與根與系數的關系證明縱坐標相等，法二是聯立直線與的方程，消去后利用根與系數的關系得到交點的橫坐標等于4，法三類似于法二，只是先通過根與系數的關系先消去，得到與的關系，然后再聯立兩個方程得到交點橫坐標為4．

試題解析：（1）解法一：當橢圓E的焦點在x軸上時，設其方程為（），

則，又點在橢圓上，得．解得．

∴橢圓的方程為．

當橢圓E的焦點在y軸上時，設其方程為（），

則，又點在橢圓上，得．

解得，這與矛盾．

綜上可知，橢圓的方程為．

解法二：設橢圓方程為（），

將、、代入橢圓的方程，得

解得，．

∴橢圓的方程為．

（2）證法一：將直線：代入橢圓的方程并整理，得，

設直線與橢圓的交點，，

由根與系數的關系，得，．

直線的方程為：，它與直線的交點坐標為，

同理可求得直線與直線的交點坐標為．

下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱坐標相等：

∵，，

∴

．

因此結論成立．

綜上可知，直線與直線的交點在直線上．

證法二：將直線：，代入橢圓的方程并整理，

得，

設直線與橢圓的交點，，

由根與系數的關系，得，．

直線的方程為：，即．

直線的方程為：，即．

由直線與直線的方程消去，得

．

∴直線與直線的交點在直線上．

證法三：將直線：，代入橢圓方程并整理，

得，

設直線與橢圓的交點，，

由根與系數的關系，得，．

消去得，．

直線的方程為：，即．

直線的方程為：，即．

由直線與直線的方程消去得，

．

∴直線與直線的交點在直線上．