Question

類比“二倍角的正、余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數，f(x)=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

，給出以下兩個式子
①f（2x）=2f（x）•g（x）；    ②g（2x）=[g（x）]²-[f（x）]²；
其中正確的是

①

．

Answer 1

分析：寫出“二倍角的正弦公式”的形式，據此二倍角公式寫出類比結論，最后再進行證明即可．

解答：解：∵“二倍角的正弦公式”的形式是：
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x，
有類比結論：
設f(x)=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

，有①f（2x）=2f（x）•g（x）；    ②g（2x）=[g（x）]²-[f（x）]²；
其中①是正確的，證明如下：
∵f(x)=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

，
∴f（x）g（x）=

ex-e-x

2

×

ex+e-x

2

=

1

2

×

e2x-e-2x

2

=

1

2

f（2x）
∴f（2x）=2f（x）g（x）．
②是不正確的，∵證明如下：
由于g（2x）=

e2x+e-2x

2

，
[g（x）]²-[f（x）]²=(

ex+e-x

2

)2-(

ex-e-x

2

)2=1，
故②不正確．
故答案為：①．

點評：本題考查利用類比推理從形式上寫出類比結論，寫類比結論時：先找類比對象，再找類比元素．