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【題目】已知函數有兩個極值點.

(1)求實數的取值范圍；

(2)求證： ，其中為自然對數的底數.

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：(1) 由得， 有兩個極值點，即方程有兩解，即的圖象與直線有兩個公共點，利用導數研究函數的單調性，結合函數圖象即可求得實數的取值范圍；(2) ∵，∴，故只需證明： ， 等價于，不妨設，并令， ，利用導數可證明，從而可得結果.

試題解析：(1)由得，

記，則，

當時， ，當時， ，

∴在上遞增，在上遞減，

又， 時， ， 時， ，

由題， 有兩個極值點，即方程有兩解，

即的圖象與直線有兩個公共點，

故.

(2)∵，∴，故只需證明： ，

由，作差得： ，

因此， ，

不妨設，并令， ，

則，∴在上單調遞減， ，

即，即成立，于是原命題得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知為實常數，函數.

（1）求函數的最值；

（2）設.

(i)討論函數的單調性；

（ⅱ） 若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知動圓M與直線相切，且與定圓C：外切，

求動圓圓心M的軌跡方程．

求動圓圓心M的軌跡上的點到直線的最短距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點，垂足為E，點F是PB上一點，則下列判斷中不正確的是（ ）﹒

A.平面PACB.C.D.平面平面PBC

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），直線的參數程為（為參數），設直線與的交點為,當變化時點的軌跡為曲線.

（1）求出曲線的普通方程；

（2）以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，點為曲線的動點，求點到直線的距離的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓，圓.

（1）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程；

（2）設動圓同時平分圓的周長、圓的周長.

①證明：動圓圓心在一條定直線上運動；

②動圓是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為F，且過點A (2，2)，橢圓的離心率為，點B為拋物線C與橢圓D的一個公共點，且.

(Ⅰ)求橢圓D的方程；

(Ⅱ)過橢圓內一點P(0，t)的直線l的斜率為k，且與橢圓C交于M，N兩點，設直線OM，ON(O為坐標原點)的斜率分別為k1，k2，若對任意k，存在實數λ，使得k1+ k2=λk，求實數λ的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】中國第一高摩天輪“南昌之星摩天輪”高度為，其中心距地面，半徑為，若某人從最低點處登上摩天輪，摩天輪勻速旋轉，那么此人與地面的距離將隨時間變化，后達到最高點，從登上摩天輪時開始計時.

（1）求出人與地面距離與時間的函數解析式；

（2）從登上摩天輪到旋轉一周過程中，有多長時間人與地面距離大于.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是（ ）

A. 天氣預報說明天下雨的概率為，則明天一定會下雨

B. 不可能事件不是確定事件

C. 統計中用相關系數來衡量兩個變量的線性關系的強弱，若則兩個變量正相關很強

D. 某種彩票的中獎率是，則買1000張這種彩票一定能中獎

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