Question

【題目】已知集合.對于的一個子集,若存在不大于的正整數,使得對于中的任意一對元素,都有,則稱具有性質.

（Ⅰ）當時,試判斷集合和是否具有性質?并說明理由.

（Ⅱ）若時，

①若集合具有性質,那么集合是否一定具有性質?并說明理由;

②若集合具有性質,求集合中元素個數的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）當時,,結合新定義的性質P可知集合不具有性質.集合具有性質.

（Ⅱ）當時,,

①若集合具有性質,那么對于中的任意兩個元素,存在成立,則對于中的任意兩個元素成立,所以集合一定具有性質.

②已知,設是中最小的元素,則,并且.可得集合中元素最多的理想狀態是集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多出一整組（個）,即有組元素在集合中,組元素不在集合中,此時滿足.很明顯不存在滿足上式的,理想狀態不存在.接下來,令集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多個,討論可得集合中元素個數的最大值是.

試題解析：

（Ⅰ）當時,,

,對于中的任意兩個元素,不存在,

所以集合不具有性質.

,對于中的任意兩個元素,存在,

所以集合具有性質.

（Ⅱ）當時,,

①若集合具有性質,那么對于中的任意兩個元素,存在成立,

集合{},則對于中的任意兩個元素,

一定存在成立,

所以集合一定具有性質.

②已知,設是中最小的元素,

則有,

并且,

并且,

以此類推

,并且

.

因為要求集合中元素個數的最大值,不妨從集合中排除不滿足條件的元素.

令,則有

,并且

.

故集合中的元素被分為兩部分,從開始以個數為一組進行分組,第一組的元素在集合中,第二組的元素不在集合中,第三組的元素在集合中,第四組的元素不在集合中,以此類推,一直到集合中沒有元素.

所以集合中元素最多的理想狀態是集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多出一整組（個）,即有組元素在集合中,組元素不在集合中,此時滿足.

因為是奇數,是偶數,所以為偶數,則有.

然而是質數,不存在滿足上式的,理想狀態不存在.

接下來,令集合中屬于集合中的元素比不屬于集合中的元素多個,此時滿足,即,此時顯然越大,集合中元素越多.

取,得,此時集合中元素最多,為.

所以,集合中元素個數的最大值是.