Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．
（Ⅰ）求{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明： + +…+ ＜2．

Answer 1

【答案】（I）解：由題設，anan+1=4Sn﹣1，得an+1an+2=4Sn+1﹣1．

兩式相減得an+1（an+2﹣a）=4an+1．

由于an+1≠0，∴an+2﹣an=4．

由題設，a1=1，a1a2=4S1﹣1，可得a2=3．

故可得{a2n﹣1}是首項為1，公差為4的等差數列，a2n﹣1=4n﹣3=2（2n﹣1）﹣1；

{a2n}是首項為3，公差為4的等差數列，a2n=4n﹣1=22n﹣1．

∴ ；

（Ⅱ）證明： ，

當n＞1時，由 ，得

，

∴

【解析】（Ⅰ）化簡anan+1=4Sn﹣1求得數列{an}的特點，進而求得數列{an}的通項公式；（Ⅱ）根據（Ⅰ）求得數列的前n項和，代入后求得所給不等式成立.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．