Question

（本小題滿分12分）甲有一個裝有個紅球、個黑球的箱子，乙有一個裝有個紅球、個黑球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球，并約定:所取兩球同色時甲勝，異色時乙勝（，，，）．
(Ⅰ)當,時，求甲獲勝的概率；
（Ⅱ）當，時，規定：甲取紅球獲勝得3分；取黑球獲勝得1分；甲負得0分．求甲的得分期望達到最大時的，值；
（Ⅲ）當時，這個游戲規則公平嗎？請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意，甲、乙都取紅球的概率,
甲、乙都取黑球的概率,∴甲獲勝的概．……… 3分
（Ⅱ）令表示甲的分數，則的取值為0,1,3,，， ，

	0	1	3

得的分布列如下：
于是；
又且，∴，且
故當時，的最大值為．              ……………………………… 7分
（Ⅲ）由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有 種不同情形，
每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，則，，
∴，
當時，，甲、乙獲勝的概率相等，這個游戲規則是公平的；
當時，，甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，這個游戲規則不公平，有利于甲．

略