Question

【題目】已知函數，其中 ，為自然對數的底數．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）當時，若函數的圖象恒在直線的上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見詳解；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由求導可得：，因為由可得，再根據兩者的大小關系進行分類討論可得函數的單調區間；

（Ⅱ）由已知可得在上恒成立，再分類討論時，時和時函數的最小值，由即可求解.

（Ⅰ）由求導可得：

.

由可得，且，

①當時，即，

當或時，在此區間單調遞增；

當時，在此區間單調遞減；

②當時，即，

當或時，在此區間單調遞增；

當時，在此區間單調遞減；

③當時，即，

，在R上單調遞增；

（Ⅱ）由已知可得在上恒成立.

①當時，由（Ⅰ）可知在上單調遞增，

，

，解得：，

；

②當時，即

由（Ⅰ）可知在上單調遞增，在上單調遞減，

，

解得，；

③當時，即，

由（Ⅰ）可知在上單調遞減，

，

，解得，此種情況a無解.

綜上，a的取值范圍是