Question

【題目】已知函數的導函數為，且對任意的實數都有（是自然對數的底數），且，若關于的不等式的解集中恰有兩個整數，則實數的取值范圍是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用導數研究其單調性極值與最值并且畫出圖象即可得出．

∵f'（x）=e﹣x（2x+3）﹣f（x），

∴ex[f（′x）+f（x）]=2x+3，

∴exf（x）=x2+3x+c，

∵f（0）=1，

∴1=0+0+c，

解得c=1

∴f（x）=（x2+3x+1）e﹣x，

∴f′（x）=﹣（x2+x﹣2）e﹣x=﹣（x﹣1）（x+2）e﹣x．

令f′（x）=0，解得x=1或x=﹣2，

當x＜﹣2或x＞1時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，

當﹣2＜x＜1時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞減增，

可得：x=1時，函數f（x）取得極大值，x=﹣2時，函數f（x）取得極小值，

∵f（1）=，f（﹣2）=﹣e2＜0，f（﹣1）=﹣e，f（0）=1＞0，f（﹣3）=e3＞0

∴﹣e＜m≤0時，f（x）﹣m＜0的解集中恰有兩個整數恰有兩個整數﹣1，﹣2．

故m的取值范圍是（﹣e，0]，

故選：A．