Question

【題目】已知函數（a，b為常數），

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）在（1）的條件下，有兩個不相等的實根，求b的取值范圍；

（3）若對任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）增區間為和，減區間為和；（2）；（3）

【解析】

（1）當a=1時，代入F（x）并求導，令和可得函數的單調區間；

（2）當a=1時，代入F（x）=0有兩個不相等的實根，分離參數可得，記，轉化為直線與的圖象有且只有兩個公共點，對函數求導，研究其單調性，得出其圖象變化規律及函數的極值，判斷出圖象與有兩個交點的情況數形結合即可求出范圍．

（3）對任意的a∈[-1，0]，不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，故依據單調性判斷出函數的最小值，令最小值大于等于-8即可解出參數b的取值范圍．

（1）當時，，

則，

令，得，

令，得，

的增區間為和，減區間為和．

（2）由（1）a=1時，代入，

分離參數可得；

記，則，

當x變化時，、的變化情況如下表：

x				0		4
		0		0		0
		極小值		極大值0		極小值

由已知，知直線與的圖象有且只有兩個公共點，

所以，，或，

的取值范圍為．

（3）因為，

令，

則有，

當時，可知，

恒成立，

時，；時，．

在內遞增，在內遞減，

∵，

，

∴

在上的最小值恒成立，

，

當時，取最大值16，

所以b的取值范圍為．