Question

【題目】已知函數，其中.

（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求與滿足的關系；

（2）當時，討論的單調性；

（3）當時，對任意的，總有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當時，在上單調遞增；②當時，在和上單調遞增；在上單調遞減；當時，函數在和上單調遞增；在上單調遞減；（3）.

【解析】

（1）求出，由函數在點處的切線與平行，得，從而可得結果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（3）當時，，對任意的恒成立等價于在恒成立. 設，兩次求導，可得，從而可得結果.

（1）由題意，得.

由函數在點處的切線與平行，得.

即.

（2）當時，，

由知.

①當時，，在恒成立，

函數在上單調遞增.

②當時，由，解得或；

由，解得.

函數在和上單調遞增；在上單調遞減.

③當時，，解得或；

由，解得.

函數在和上單調遞增；在上單調遞減.

（3）當時，，

由，得對任意的恒成立.

，，

在恒成立.

設，則，

令，則，

由，解得.

由，解得；

由，解得.

導函數在區間單增；在區間單減，

，在上單調遞減，

，.

故所求實數的取值范圍.