Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（I）討論函數的單調性，并證明當x＞﹣2時，xex+2+x+4＞0；
（Ⅱ）證明：當a∈[0，1）時，函數g（x）= （x＞﹣2）有最小值，設g（x）最小值為h（a），求函數h（a）的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：由 ，

得 ，

故f（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣4，+∞）上單調遞增，

當x＞﹣2時，由上知f（x）＞f（﹣2）=﹣1，

即 ，即xex+2+x+4＞0，得證．

（Ⅱ）對 求導，

得 ，x＞﹣2．

記 ，x＞﹣2．

由（Ⅰ）知，函數φ（x）區間（﹣2，+∞）內單調遞增，

又φ（﹣2）=﹣1+a＜0，φ（0）=a＞0，所以存在唯一正實數x0，使得 ．

于是，當x∈（﹣2，x0）時，φ（x）＜0，g'（x）＜0，

函數g（x）在區間（﹣2，x0）內單調遞減；

當x∈（x0，+∞）時，φ（x）＞0，g'（x）＞0，

函數g（x）在區間（x0，+∞）內單調遞增．

所以g（x）在（﹣2，+∞）內有最小值 ，

由題設即 ．

又因為 ．所以 ．

根據（Ⅰ）知，f（x）在（﹣2，+∞）內單調遞增，

，所以﹣2＜x0≤0．

令 ，

則 ，函數u（x）在區間（﹣2，0]內單調遞增，

所以u（﹣2）＜u（x）≤u（0），

即函數h（a）的值域為

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，得到f（x）＞f（﹣2），證明結論即可；（Ⅱ）求出g（x）的導數，得到g（x）的最小值，分離a，得到 ，所以﹣2＜x0≤0．令 ，根據函數的單調性判斷即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．