Question

（2010•河西區一模）函數f（x）與g（x）=（

1

2

）^x互為反函數，則f（4x-x²）的單調遞增區間為（　　）

A．（-∞，2]

B．（0，2）

C．[2，4）

D．[2，+∞）

Answer 1

分析：先求出反函數f（x），通過換元求出f（4x-x²）=log  

1

2

（4x-x²），確定此函數的定義域，然后在定義域的前提條件下根據x-3x²的單調性以及復合函數的單調性可求出所求．

解答：解：∵函數f（x）與g（x）=（

1

2

）^x互為反函數，
∴f（x）=log  

1

2

^x，
∴f（x-3x²）=log  

1

2

（4x-x²），
由4x-x²＞0得0＜x＜4，即定義域為 （0，4），
x∈（0，2），4x-x²單調遞增，此時f（4x-x²）=log  

1

2

（4x-x²）單調遞減；
x∈[2，4）時，4x-x²單調遞減此時 f（4x-x²）=log  

1

2

（4x-x²）單調遞增．
∴f（4x-x²）的單調遞增區間為[2，4）
故選C．

點評：本題主要考查反函數的求法，以及復合函數的單調性，體現了整體的數學思想，定義域是單調區間的前提，屬于基礎題．